Theorie

Als je op zoek bent naar eigenschappen van getallen vind je vaak door proberen wel bepaalde regelmaat. Je krijgt dan een vermoeden. Veel vermoedens hebben de vorm "als A, dan B".
Bijvoorbeeld: als a² even is, dan is a ook even.
Je spreekt dan van een implicatie en je schrijft: a² is even ⇒ a is even.
Maar om zeker te weten of dit vermoeden altijd geldig is moet je een redenering geven die dit onomstotelijk aantoont. Dat heet een bewijs.
Er zijn verschillende soorten bewijzen:

• Een direct bewijs:
  Je laat dan door een waterdichte redenering zien dat bewering B inderdaad uit A volgt en dus dat de waarheid van A ook betekent dat B waar is.
• Een indirect bewijs of een bewijs uit het ongerijmde:
  Je gaat nu uit van de onwaarheid van B en je laat zien dat A dan ook onmogelijk waar kan zijn. Dat is een tegenspraak omdat de waarheid van A al vast staat en dus de onwaarheid van B niet kan kloppen: B moet waar zijn.

Wanneer zowel "als A, dan B" en "als B, dan A" waar zijn, dan zijn A en B gelijkwaardige beweringen, ze zijn equivalent. Je schrijft dan: A ⇔ B.
Er zijn dan twee bewijzen nodig, één voor A ⇒ B en één voor B ⇒ A.