Voorbeeld
Bewijs dat er oneindig veel priemgetallen zijn.
(Het hier gegeven bewijs is een klassiek voorbeeld van een bewijs uit het ongerijmde. Het is afkomstig van Euklides.)
Antwoord
Neem eens aan dat er NIET oneindig veel priemgetallen zijn, maar niet meer dan n.
Noem die n priemgetallen: p1, p2, ..., pn in opklimmende volgorde.
Bekijk nu het getal a = p1 · p2 · p3 · ... · pn + 1.
Dit getal is groter dan elk van de n priemgetallen.
Als je dit getal deelt door p1, of p2, of ..., of pn, dan blijft er steeds een rest van 1 over. Dus a is niet deelbaar door één van de priemgetallen p1, p2, ..., pn. Omdat elk getal te schrijven is als het product van priemgetallen (een stelling die je eigenlijk eerst nog moet bewijzen) is dit getal zelf een priemgetal.
Het getal a is een priemgetal dat groter is dan p1, p2, ..., pn en dus een nieuw priemgetal. Maar dat is in strijd met de aanname dat er maar n zijn.
De stelling dat er maar eindig priemgetallen zijn is dus onwaar. Hieruit volgt dat er inderdaad oneindig veel priemgetallen zijn.
