Voorbeeld

De parameterkromme in de Theorie wordt gegeven door de parametervoorstelling
(x(t),y(t)) = (4 cos(t) + 2 cos(2t), 4 sin(t) + 2 sin(2t)).
In de keerpunten van deze kromme is de raaklijn evenwijdig aan de x-as of de y-as. Bereken deze keerpunten in twee decimalen nauwkeurig.

Antwoord

De helling van de raaklijn wordt gegeven door: $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{y\text{'}(t)}{x\text{'}(t)}$.

• De raaklijn is evenwijdig aan de x-as als: y'(t) = 0 en x'(t) ≠ 0.
  y'(t) = 4 cos(t) + 4 cos(2t) = 0 geeft: cos(t) + cos(2t) = 0 en dus
  2 cos²(t) + cos(t) – 1= 0, zodat cos(t) = –1  V  cos(t) = 0,5.
  Hieruit volgt: t = π + k · 2π  V  t = $\frac{1}{3}$π + k · 2π  V  t = –$\frac{1}{3}$π + k · 2π.
  Ga na, dat dit als keerpunten oplevert: (–2,0), (2,3$\sqrt{3}$ en (2,–3$\sqrt{3}$).

• De raaklijn is evenwijdig aan de y-as als: x'(t) = 0 en y'(t) ≠ 0.
  x'(t) = –4 sin(t) – 4 sin(2t) = 0 geeft: sin(t) – sin(2t) = 0 en dus
  sin(t) – 2 sin(t) cos(t) = 0, zodat sin(t) = 0  V  cos(t) = –0,5.
  Hieruit volgt: t = k · π  V  t = $\frac{2}{3}$π + k · 2π  V  t = –$\frac{2}{3}$π + k · 2π.
  Ga na, dat dit als keerpunten oplevert: (6,0), (–3,$\sqrt{3}$) en (–3,–$\sqrt{3}$).
  ((–2,0) kan niet omdat y'(π) = 0.)