Voorbeeld

Gegeven is de complexe functie f(z) = $\frac{1}{z}$.
Het domein bestaat uit alle waarden van z met |z| $\le$ 2 en –0 $\le$ arg z $\le$ 0,5π.
Teken het domein en het bereik van f in één figuur.
Welke waarden van z blijven even ver van de oorsprong afliggen?

Antwoord

Het domein is het binnengebied en de rand van een kwart cirkel met straal 2 en middelpunt O. Het getal z stel je voor door z = r e^iφ. Ga na dat elke z die voldoet aan de voorwaarden binnen het rode gebied blijft.
Omdat z = r e^iφ geldt: $\frac{1}{z}$ = $\frac{1}{r}$ e^–iφ.
Dus |f(z)| = $\frac{1}{\left|z\right|}$ en arg(f(z)) = – arg z.
Dit geldt ook voor de punten op de rand van het domein. En daarom wordt het bereik het buitengebied van een kwartcirkel met straal $\frac{1}{2}$ en begrensd door de positieve x-as en de negatieve y-as. Ga na, dat z_f = f(z) steeds binnen het (blauw begrensde) bereik blijft.

De z-waarden met |z| = 1 houden dezelfde afstand tot O.