Voorbeeld

Gegeven is de complexe functie f(z) = z².
Het domein bestaat uit alle waarden van z met |z| $\le$ 2 en –0,25π $\le$ arg z $\le$ 0,25π.
Teken het domein en het bereik van f in één figuur.
Hoe zijn het reële deel en het imaginaire deel van f(z) uit die van z af te leiden?

Antwoord

Het domein is het binnengebied en de rand van een kwart cirkel met straal 2 en middelpunt O. Het getal z stel je voor door z = r e^iφ. Ga na dat elke z die voldoet aan de voorwaarden binnen het rode gebied blijft.
Omdat z = r e^iφ geldt: z² = r² e^2iφ.
Dus |f(z)| = |z|² en arg(f(z)) = 2 · arg z.
Dit geldt ook voor de punten op de rand van het domein. En daarom wordt het bereik een halve cirkel (alle argumenten verdubbelen) met als straal het kwadraat van de straal van het domein. Ga na, dat z_f = f(z) steeds binnen het (blauwe) bereik blijft.

Als z = a + bi, dan is
z² = (a + bi)² = a² – b² + 2abi.