Uitleg

Je ziet hier een balk OABC.DEFG met A(3,0,0), C(0,2,0) en D(0,0,2). Verder is M het midden van AB en N dat van AE.

Voor elk punt P op lijn DN geldt: $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OD}+p\cdot \overrightarrow{DN}$.
Een vectorvoorstelling van DN is dus $\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2\end{array}\right)+p\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -1\end{array}\right)$
Het verband tussen x, y en z is hieruit niet tot één vergelijking met die drie variabelen te herschrijven. Immers P(x,y,z) = (3p,0,2 – p).
Hieruit volgt: p = $\frac{1}{3}$x.
Substitueer je dit in z = 2 – p, dan vind je de vergelijking x + 3z = 6. Maar hieraan voldoen niet alleen punten met y = 0 (zoals P), maar ook punten met andere y-coördinaten.
En die liggen helemaal niet op de lijn DN!

Een lijn is in ${ℝ}^3$ NIET met één vergelijking te beschrijven. Je hebt er twee vergelijkingen voor nodig. Voor lijn DN zijn dat de vergelijkingen x + 3z = 6 en y = 0.
Omdat dit vaak nogal lastig is, gebruik je meestal vectorvoorstellingen van lijnen in ${ℝ}^3$.