Voorbeeld

Gegeven is op [0,2π] de functie f met
f(x) = cos(x).
Het vlakdeel V wordt ingesloten door de x-as en de grafiek van f. Bereken de oppervlakte en de omtrek van V en de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door V om de x-as te wentelen.

Antwoord

Inhoud: I(V) = ${\displaystyle \underset{\mathrm{0,5}\text{π}}{\overset{\mathrm{1,5}\text{π}}{\int }}\pi \cdot {\text{cos}}^2\text{(x)d}x}$
Omdat cos(2x) = 2 cos²(x) – 1, geldt: cos²(x) = $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ cos(2x).
De integraal wordt daarmee:
${\displaystyle \underset{\mathrm{0,5}\text{π}}{\overset{\mathrm{1,5}\text{π}}{\int }}\text{π}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos (2x)\right)}\text{d}x$ = ${\left[\text{π}\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin (2x)\right)\right]}_{\mathrm{0,5}\text{π}}^{\mathrm{1,5}\text{π}}$ = 0,5π².