Stelling

De machtsregel voor wortelfuncties:
Als $f(x)=\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}$  dan is $f\text{'}(x)=\frac{1}{n}{x}^{\frac{1}{n}-1}$ voor gehele positieve n en x ≠ 0.

Bewijs

Ga uit van $f(x)=x^{\frac{1}{n}}$.
Je weet: ${\left(x^{\frac{1}{n}}\right)}^n=x$ dus ${\left(f(x)\right)}^n=x$.

Als je aan beide zijden van het is-gelijk-teken differentieert (aan de linkerkant met de kettingregel!), dan vind je:

$n{\left(f(x)\right)}^{n-1}\cdot f\text{'}(x)=1$

Dus: $n{\left(x^{\frac{1}{n}}\right)}^{n-1}\cdot f\text{'}(x)=1$

En daaruit volgt: $f\text{'}(x)=\frac{1}{n}{x}^{\frac{1}{n}-1}$ mits x ≠ 0.