Stelling

Differentieerregel 4 (kettingregel):
Als S(x) = f(g(x)) dan is S'(x) = f'(g(x)) · g'(x).

Bewijs

Volgens de limietdefinitie van de afgeleide is

$S\text{'}(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}$

Verder is g(x + h) ≈ g(x) + h · g'(x) (lineaire benadering van functie g). En dus:

$S\text{'}(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(g(x)+h\cdot g\text{'}(x))-f(g(x))}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(g(x)+h\cdot g\text{'}(x))-f(g(x))}{h\cdot g\text{'}(x)}\cdot g\text{'}(x)$.

Als h naar 0 nadert, dan nadert ook h · g'(x) naar 0 (als g'(x) bestaat.)
En daarom vind je:

$S\text{'}(x)=f\text{'}(g(x))\cdot g\text{'}(x)$.