Voorbeeld

Gegeven is de cirkel c met middelpunt M(2,0) en straal $\sqrt{10}$.
Van de familie van lijnen l: y = 3x + b raken er twee aan deze cirkel. Welke twee?

Antwoord

De cirkel c heeft vergelijking: (x – 2)² + y² = 10.
Het combineren van de vergelijkingen van l en c geeft: (x – 2)² + (3x + b)² = 10.
Herschrijven levert op:
10x² – 4x + 6bx + 4 + b² = 10.
En dus: 10x² + (6b – 4)x + b² – 6 = 0.
Omdat l en c elkaar raken heeft deze vergelijking precies één oplossing.
De discriminant ervan is daarom 0: (6b – 4)² – 4 · 10 · (b² – 6) = 0.
Uitwerken geeft: –4b² – 48b + 256 = 0 en dus b² + 12b – 64 = 0.
Dit levert op: b = –16  V  b = 4.
De twee raaklijnen zijn y = 3x – 16 en y = 3x + 4.