Stelling

Het getal $\sqrt{2}$ is niet als breuk te schrijven en daarom geen rationaal getal.

Bewijs

Dan is: $2=\frac{p^2}{q^2}$ en dus p² = 2q².

Dus p² moet deelbaar zijn door 2.
Dit kan alleen als p deelbaar is door 2. Dus p = 2a.
En dan is (2a)² = 2q², zodat 4a² = 2q² en 2a² = q².
Dus is ook q² deelbaar door 2 en is q deelbaar door 2: q = 2b.

Maar dan is $\sqrt{2}=\frac{p}{q}=\frac{2a}{2b}=\frac{a}{b}$.

Kennelijk is de breuk die $\sqrt{2}$ voorstelt dan altijd te vereenvoudigen.
Maar je ging er van uit dat dit niet het geval was.
Er ontstaat dus een tegenspraak.
Daarom kan onze aanname dat $\sqrt{2}$ als breuk is te schrijven niet juist zijn.
Q.e.d.