Voorbeeld

Bewijs dat de zwaartelijnen van een driehoek elkaar in één punt snijden en dat dit punt de zwaartelijnen verdeelt in stukken die zich verhouden als 1 : 2.

Antwoord

Gegeven:
AE, BF en CD zijn zwaartelijnen, dus BE = EC, AF = FC en AD = DB. Z is het snijpunt van AE en BF.

Te bewijzen:
CD gaat door Z en FZ : ZB = EZ : ZA = CD : ZC = 1 : 2.

Bewijs:
CA = 2 · CF en CB = 2 · CE, dus ΔABC is gelijkvormig met ΔFEC (hh). Dit betekent: AB = 2 · FE en AB // EF. Hieruit volgt: ∠BAE = ∠AEF en ∠ABF = ∠BFE (Z-hoeken). En dus is ΔABZ gelijkvormig met ΔEFZ (hh).
Omdat AB = 2 · FE is FZ : ZB = 1 : 2 = EZ : ZA. De zwaartelijnen AE en BF verdelen elkaar dus in de verhouding 1 : 2.
Eenzelfde redenering geldt voor bijvoorbeeld de zwaartelijnen AE en CD. En dus moet CD wel door punt Z gaan. Alle drie de zwaartelijnen gaan door één punt Z, het zwaartepunt van de driehoek. Q.e.d.