Voorbeeld

Bewijs dat de bissectrices van de drie hoeken van een driehoek elkaar in één punt snijden en dat dit punt gelijke afstanden heeft tot elk van de zijden van de driehoek.

Antwoord

Gegeven:
Zie figuur. AM en BM zijn bissectrices; CM is de lijn door C en M.

Te bewijzen:
MD = ME = MF en lijn CM is bissectrice.

Bewijs:
Omdat AM bissectrice van ∠A is, geldt: ∠DAM = ∠FAM. Verder is AM = AM en ∠ADM = ∠AFM = 90°. Dus zijn ΔDAM en ΔFAM congruente driehoeken (ZHH).
Dit betekent MD = MF.
Op vergelijkbare wijze is MD = ME.
Omdat CM = CM, MF = ME en ∠CEM = ∠CFM = 90° zijn ΔCEM en ΔCFM congruent (ZZR).
En dus is ∠ECM = ∠FCM en is CM bissectrice van ∠C.
Q.e.d.