Voorbeeld

Gegeven is de parameterkromme (x,y) = (2 sin(t), sin(3t)).
Deze Lissajousfiguur is ook te beschrijven door een vergelijking waarin alleen x en y voorkomen. Leid deze vergelijking af.

Antwoord

Uit x = 2 sin(t) volgt: sin(t) = $\frac{1}{2}$x.

Vervolgens is y = sin(3t) = sin(2t + t) = sin(2t) cos(t) + cos(2t) sin(t).
In deze uitdrukking kun je de verdubbelingsformules stoppen:
y = 2 sin(t) cos²(t) + (1 – 2 sin²(t)) sin(t).
Gebruik je nu ook nog dat sin²(t) + cos²(t) = 1, dan vind je:
y = 2 sin(t) (1 – sin²(t)) + (1 – 2 sin²(t)) sin(t).

Vervang in deze laatste uitdrukking overal sin(t) door $\frac{1}{2}$x en je vindt een vergelijking met alleen x en y: y = 1$\frac{1}{2}$x – $\frac{3}{4}$x³.

Je hebt nu door t te elimineren een vergelijking gekregen in x en y.
Omdat deze vergelijking de vorm y = ... heeft is er sprake van een functievoorschrift. Je kunt de kromme ook op die wijze in beeld brengen. Welk domein en bereik moet je functie dan hebben?