Voorbeeld

Gegeven de functie f met voorschrift f(x) = $\sin \left(\frac{1}{x}\right)$.
Is deze functie periodiek?
Bepaal de nulpunten en de asymptoten van deze functie.

Antwoord

Omdat de standaard sinusfunctie een periode van 2π heeft en een vorm als 1/x juist voor x = 0 niet bestaat, bekijk je de grafiek op [–π,π]. Je krijgt dan op [–π,π]×[–2,2] de bovenste grafiek. In de buurt van x = 0 is erg onduidelijk hoe de grafiek er uit ziet, inzoomen laat zien dat er steeds meer en steeds smallere "golfjes" onstaan als je dichter bij 0 komt. Periodiek is hij in ieder geval niet...

Nulwaarden: $\sin \left(\frac{1}{x}\right)$ geeft $\frac{1}{x}$ = 0 + k · π en dus x = $\frac{1}{k\cdot \text{π}}$.
De positieve nulwaarden zijn $\frac{1}{\text{π}}$, $\frac{1}{\text{2π}}$, $\frac{1}{\text{3π}}$, $\frac{1}{\text{4π}}$, enz.
Deze komen steeds dichter bij 0 te liggen en ook steeds dichter bij elkaar.
Voor de negatieve nulwaarden geldt iets vergelijkbaars.

Er is bij x = 0 geen verticale asymptoot omdat een sinus altijd binnen [–1,1] blijft.
Wel is er een horizontale asymptoot: als x heel groot (of heel groot negatief) wordt, dan nadert $\frac{1}{x}$ naar 0 en dus nadert ook f(x) naar 0.
De horizontale asymptoot is y = 0.