Voorbeeld

Gegeven is de functie f met f(x) = x ln²(x).

1. Bereken algebraïsch de extremen van f.
2. Bereken de coördinaten van de punten op de grafiek van f waarin de raaklijn evenwijdig is aan de lijn met vergelijking y = 3x.

Antwoord

Om de grafiek te kunnen tekenen stel je vast dat het domein $\langle \mathrm{0,}\to \rangle$ en het nulpunt (1,0) is.

De afgeleide van f is: f'(x) = ln²(x) + 2 ln(x).

De extremen vind je uit ln²(x) + 2 ln(x) = 0.
Dit geeft ln(x) · (ln(x) + 2) = 0, dus ln(x) = 0  V  ln(x) = –2 en dus x = 1  V  x = e^–2.
Dus zijn de extremen min.f(1) = 0 en max.f(e^–2) = 4e^–2.

In de tweede vraag is het gegeven te vertalen in f'(x) = 3.
Dit geeft: ln²(x) + 2 ln(x) = 3 en dus ln²(x) + 2 ln(x) – 3 = 0.
Dit levert op: ln(x) = 3  V  ln(x) = –1 en dus x = e³  V  x = e^–1.
De gevraagde punten zijn (e³,9e³) en (e^–1,e^–1)