Stelling

Als f(x) = g^x dan is f'(x) = c_g · g^x.

Bewijs

f'(x) = $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{g^{x+h}-g^x}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }{g}^x\cdot \frac{g^h-1}{h}$.

Dus is f'(x) = $\underset{h\to 0}{\lim }{g}^x\cdot \frac{g^h-1}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{g^h-1}{h}\cdot g^x=c_g\cdot g^x$.

Hierin is c_g een constante die van g afhangt.

Deze constante neemt voor g = e het getal 1 aan als $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\text{e}}^h-1}{h}=1$.
Door deze limiet wordt het getal e vastgelegd. Je zou benaderingen voor e kunnen vinden door hele kleine getallen voor h te kiezen. Probeer maar...
Voor h = 0,0001 vind je e ≈ 2,718145927.