Voorbeeld

Gegeven is de functie f met f(x) = $x\sqrt{4-x^2}$.
Bereken met behulp van integreren de oppervlakte van het vlakdeel begrensd door de grafiek van f en de x-as.

Antwoord

Voor het primitiveren van f kun je terugrekenen vanuit de kettingregel.
De afgeleide van g(x) = 4 – x² is g'(x) = –2x.
Als je x = –$\frac{1}{2}$ · –2x toepast, kun je de f schrijven als: f(x) = –$\frac{1}{2}$ · g'(x) · (g(x))^0,5.
En dus is F(x) = –$\frac{1}{2}$ · $\frac{1}{\mathrm{1,5}}$(g(x))^1,5 + c = $-\frac{1}{3}(4-x^2)\sqrt{4-x^2}$ + c.

Met behulp van de grafiek zie je dat de gevraagde oppervlakte is:
opp(V) = $2\cdot {\displaystyle \underset{0}{\overset{2}{\int }}f(x)\text{d}x}=2\cdot {\left[-\frac{1}{3}(4-x^2)\sqrt{4-x^2}\right]}_0^2$ = $\frac{16}{3}$