Uitleg

Onder integreren versta je het berekenen van een integraal met behulp van primitiveren. Je maakt daarbij gebruik van de hoofdstelling van de integraalrekening, die zegt dat: ${\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\text{d}x}$ = F(b) – F(a) waarin F(x) een primitieve van f is.
Meestal noteer je F(b) – F(a) als ${\left[F(x)\right]}_a^b$.
De kunst hierbij is het vinden van F(x) door "omgekeerd differentiëren", door omkeren van de differentieerregels...

Bekijk de functie f met f(x) = $\frac{x}{{(1+x^2)}^3}$.
Je kunt met je GR gemakkelijk de integraal van f op het interval [–1,1] berekenen, uitkomst 0. Verder kun je de oppervlakte berekenen van het vlakdeel V ingesloten door de grafiek van f, de x-as en de lijnen x = –1 en x = 1. Het gaat daarbij echter om benaderingen... Wil je die oppervlakte exact bepalen, dan moet je een primitieve vinden van f(x) = x(1 + x²)^–3.
Het vinden van die primitieve kan door terugrekenen vanuit de kettingregel. Je moet dan herkennen, dat x = $\frac{1}{2}$ · 2x en dat 2x de afgeleide is van g(x) = 1 + x².
Dus is x(1 + x²)^–3 = $\frac{1}{2}$(g(x))^–3 · g'(x) en is de primitieve F(x) = $\frac{1}{2}$ · –$\frac{1}{2}$(g(x))^–2.
De oppervlakte van V is: 2 · ${\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x}{{(1+x^2)}^3}\text{d}x}$ = 2 · ${\left[-\frac{1}{4}{(1+x^2)}^{-2}\right]}_0^1$ = $\frac{3}{8}$.