Voorbeeld

Gegeven is de functie f met f(x) = 0,5x⁴ – 4x².
Bereken met behulp van integreren de oppervlakte van het vlakdeel begrensd door de grafiek van f op het interval [0,3], de x-as en de lijn x = 3.

Antwoord

Het primitiveren gaat als bij Voorbeeld 1: F(x) = $\frac{1}{10}$x⁵ – $\frac{4}{3}$x³ + c.

Voor het berekenen van de gewenste oppervlakte moet je nu de grafiek van f bekijken. Want bij een integraal leveren gebieden met negatieve functiewaarden ook een negatieve uitkomst op. In dit geval zie je dat er zowel een gebied met negatieve als een gebied met positieve functiewaarden is. Je berekent dus eerst de nulpunten van f. Ga na dat dat dit (–$\sqrt{8}$,0), (0,0) en ($\sqrt{8}$,0) zijn.
Voor de oppervlakte tel je nu twee integralen bij elkaar op:

opp(V) = ${\displaystyle \underset{0}{\overset{\sqrt{8}}{\int }}-f(x)\text{d}x+{\displaystyle \underset{\sqrt{8}}{\overset{3}{\int }}f(x)\text{d}x}}$

Ga nu zelf na dat de oppervlakte wordt: opp(V) = $\frac{128}{15}\sqrt{8}-\mathrm{11,7}$.