Stelling

Als $Q(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ (met g(x) ≠ 0) dan is $Q\text{'}(x)=\frac{f\text{'}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g\text{'}(x)}{{\left(g(x)\right)}^2}$.

Bewijs

Je weet $Q(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=f(x)\cdot {\left(g(x)\right)}^{-1}$.

Dit differentieer je met de productregel en de kettingregel:

$Q\text{'}(x)=f\text{'}(x)\cdot {\left(g(x)\right)}^{-1}+f(x)\cdot -1{\left(g(x)\right)}^{-2}\cdot g\text{'}(x)=\frac{f\text{'}(x)}{g(x)}-\frac{f(x)\cdot g\text{'}(x)}{{\left(g(x)\right)}^2}$

Nu nog even de breuken gelijknamig maken en optellen:

$Q\text{'}(x)=\frac{f\text{'}(x)\cdot g(x)}{{\left(g(x)\right)}^2}-\frac{f(x)\cdot g\text{'}(x)}{{\left(g(x)\right)}^2}=\frac{f\text{'}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g\text{'}(x)}{{\left(g(x)\right)}^2}$