Voorbeeld

Gegeven de functie f met voorschrift f(x) = 2 cos²(x) – 1.
(Met cos²(x) wordt (cos(x))² bedoeld.)
Onderzoek of deze goniometrische functie periodiek is en bepaal dan de bijbehorende periode.

Antwoord

De standaard cosinusgrafiek heeft een periode van 2π. Het ligt dus voor de hand om de grafiek van f in beeld te brengen op bijvoorbeeld [0,2π]. Die grafiek lijkt op een zuivere sinusoïde met periode π, amplitude 1 en evenwichtsstand y = 0. Als je er een formule met cos bij wilt maken is de horizontale verschuiving 0.
Kortom: de grafiek lijkt op die van y = cos(2x).

Of dit echt het geval is, kun je (nog) niet aantonen. Wel kun je de nulpunten berekenen en kijken of die hetzelfde zijn als die van y = cos(2x).

f(x) = 0 als 2 cos²(x) – 1 = 0, dus als cos(x) = –$\sqrt{\mathrm{0,5}}$  V  cos(x) = $\sqrt{\mathrm{0,5}}$.
Dit levert dezelfde waarden op als cos(2x) = 0 oplossen.
Ga dat zelf na.