Uitleg

Elk complex getal kan worden geschreven als: z = x + iy = r(cos φ + i sin φ)

Wanneer r = 1 dan levert dit op: z = cos φ + i sin φ.
Dit complexe getal ligt op een cirkel met straal 1 om de oorsprong van het complexe vlak. Als φ varieert van 0 tot 2π dan doorloopt het complexe getal die hele cirkel.

Nu komt iets verrassends...
Stel, je vat cos φ + i sin φ op als functie van φ. Vervolgens ga je deze functie differentiëren met behulp van de regels die voor reële functies gelden. Je neemt aan dat i een constante is. Dus: f(φ) = cos φ + i sin φ
geeft: f'(φ) = –sin φ + i cos φ = i(cos φ + i sin φ).
Kennelijk geldt f'(φ) = i · f(φ).
Nu is er een reële functie die gelijk is aan zijn eigen afgeleide, namelijk de e-macht.
Je zou kunnen opschrijven: als g(φ) = e^iφ dan is g'(φ) = i · e^iφ.
De functie f van hiervoor vertoont dan hetzelfde gedrag als g(φ) = e^iφ.
Euler bewees ook echt dat f(φ) = cos φ + i sin φ = e^iφ.
Dit is de beroemde formule van Euler.