Uitleg

Over de beroemde wiskundige Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) gaat het verhaal dat hij als 11-jarige de opdracht kreeg om de getallen 1 t/m 100 bij elkaar op te tellen in de veronderstelling dat hij daarmee wel even bezig zou zijn. Na enkele seconden te hebben nagedacht wist Gauss meteen het antwoord 5050. Hij bedacht ter plekke dat je deze getallen kunt optellen door de eerste en de laatste op te tellen en dan de uitkomst te vermenigvuldigen met het halve aantal getallen.

In het algemeen geldt: 1 + 2 + 3 + ... + n = $\frac{1}{2}$n(n + 1).

Dit kun je op een aantal manieren bewijzen. Een manier is de bewijsmethode van de volledige inductie. Je gebruikt dan het dominoprincipe:

• (je gooit een eerste steen om)
  de stelling geldt voor bijvoorbeeld n = 1 (voor een bepaalde n, vaak n = 1):
  1 = $\frac{1}{2}$ · 1 ·(1 + 1) klopt.
• (een omvallende steen raakt zijn opvolger die dan ook omvalt)
  als de stelling voor een bepaalde n geldt, dan volgt daaruit dat hij voor n + 1 geldt:
  Dit betekent dat je moet aantonen dat
  1 + 2 + 3 + ... + n + n + 1 = $\frac{1}{2}$(n + 1)(n + 2)
  volgt uit 1 + 2 + 3 + ... + n = $\frac{1}{2}$n(n + 1). Probeer maar eens...