Voorbeeld

De brandpunten van de hyperbool met vergelijking 4x² – y² – 8x + 4y = 16 liggen beide op een lijn evenwijdig aan de `x`-as. Bereken hun coördinaten. Stel een vergelijking op van de raaklijn aan deze hyperbool in O(0,0).

Antwoord

Nu is 4x² – 8x = 4(x² – 2x) = 4((x – 1)² – 1) = 4(x – 1)² – 4.
En –y² + 4y = –(y – 2)² + 4.
Hiermee wordt de vergelijking 4(x – 1)² – (y – 2)² = 16.
Die kun je schrijven als: $\frac{{(x-1)}^2}{4}-\frac{{(y-2)}^2}{16}=1$. Nu kun je de brandpunten bepalen.

Voor de vergelijking van een raaklijn moet je $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{y\text{'}(t)}{x\text{'}(t)}$ bepalen.
Maar, je hebt geen parametervoorstelling van de hyperbool. Die is ook niet nodig. Je werkt met de gegeven vergelijking en doet net alsof x = x(t) en y = y(t). Je differentieert dan de vergelijking van de hyperbool (let op de kettingregel) alsof je met functies van t te maken hebt (dit heet impliciet differentiëren):

8x · x'(t) – 2y · y'(t) – 8x'(t) + 4y'(t) = 0

Dit geeft: $\frac{y\text{'}(t)}{x\text{'}(t)}=\frac{8-8x}{4-2y}$ en dus $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{8-8x}{4-2y}$.

In O(0,0) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn dus 8/4 = 2.