Voorbeeld

T.ABCD is een regelmatige vierzijdige piramide met A(2,–2,0), B(2,2,0) en T(0,0,2). Bereken de hoek die lijn CT maakt met vlak ABT.
Bereken ook de hoek die de vlakken ABT en BCT met elkaar maken.

Antwoord

CT: $\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 0\end{array}\right)+q\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ en ABT: x + z = 2.

Om de hoek die CT maakt met ABT te bepalen, bereken je eerst de hoek φ tussen een richtingsvector van de lijn en een normaalvector van het vlak m.b.v. het inproduct:
$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ · $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ = 2 = $\sqrt{3}$ · $\sqrt{2}$ · cos(φ) geeft φ ≈ 35°.
De hoek tussen lijn CT en vlak ABT is daarom 90° – 35° = 55°.

De hoek tussen de vlakken ABT en BCT is de hoek tussen beide normaalvectoren van die vlakken. Ga zelf na, dat de hoek tussen beide vlakken 60° is. (De normaalvectoren van beide vlakken kun je uit de figuur aflezen.)