Voorbeeld

T.ABCD is een regelmatige vierzijdige piramide met A(2,–2,0), B(2,2,0) en T(0,0,2). Laat zien dat lijn AB en lijn CT elkaar kruisen en bereken hun kortste onderlinge afstand.

Antwoord

AB: $\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)+p\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ en CT: $\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 0\end{array}\right)+q\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$

Beide lijnen zijn niet evenwijdig want hun richtingsvectoren zijn geen veelvoud van elkaar. Ze snijden of kruisen elkaar dus. Voor een snijpunt moeten er waarden van p en q bestaan waarvoor (2,p,0) = (–2 + q,2 + q,q).
Ga na dat dergelijke waarden van p en q niet bestaan. De twee lijnen kruisen elkaar dus.

Hun kortste onderlinge afstand is de afstand van een punt (b.v. (0,2,0)) van AB tot een vlak waar CT in ligt en dat evenwijdig is met AB. Hier is dat vlak CDT. Een vergelijking van dit vlak is x – z = –2. Door een lijn door (0,2,0) en loodrecht op vlak CBT te snijden met dit vlak kun je de gevraagde afstand berekenen...