Voorbeeld

Hier zie je lijn l door de punten A(3,0,2) en B(0,2,0).
Verder zie je punt P(2;1;1,5).
Onderzoek of P op lijn AB ligt en zo nee, bereken de afstand van P tot l.

Antwoord

AB: $\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 2\end{array}\right)$
Ligt P op AB, dan is er een waarde van t waarvoor (2;1;1,5) = (3t,2 – 2t,2t). Ga zelf na dat zo'n waarde van t niet bestaat.

De afstand van P tot lijn AB is de kortste lengte van de vector $\overrightarrow{PQ}$ als Q = (3t,2 – 2t,2t).
|$\overrightarrow{PQ}$| = $\sqrt{{(3t-2)}^2+{(1-2t)}^2+{(2t-\mathrm{1,5})}^2}$.
Deze lengte is minimaal als de uitdrukking onder het wortelteken minimaal is, dus als 17t² – 22t + 7,25 minimaal is. Ga na dat dit het geval is als t = $\frac{11}{17}$ en bereken dan de gevraagde afstand.