Voorbeeld

Twee cirkels met gelijke straal snijden elkaar in de punten A en B. Een lijn door B snijdt de éne cirkel in P en de andere cirkel in Q.
Bewijs dat de lijnstukken AP en AQ even lang zijn.

Antwoord

Te bewijzen:
|AP| = |AQ|.

Bewijs:
Neem ∠PQA = α. Als je kunt aantonen dat ∠QPA = α dan is ΔQPA gelijkbenig en is |AP| = |AQ|.
Nu is ∠AM₁B = 2α (stelling van de omtrekshoek). Vierhoek AM₁BM₂ heeft vier even lange zijden heeft is dus een ruit (definitie ruit), zodat ook ∠AM₁B = 2α (stelling ruit).
Er is dus een omtrekshoek ∠BRA met R op de cirkel met middelpunt M₂ en aan de andere kant van AB dan P die de helft is van ∠AM₁B = 2α en dus gelijk is aan α. Omdat PBRA een koordenvierhoek is, is ∠APB = 180° – α (stelling koordenvierhoek). En dus is ∠QPA = 180° – ∠APB = α. Q.e.d.