Voorbeeld

In een scherphoekige driehoek ABC is F het voetpunt van de hoogtelijn uit C. Uit F zijn loodlijnen neergelaten op AC en BC. Hun voetpunten zijn P respectievelijk Q. Bewijs dat de punten A, B, P en Q op een cirkel liggen.

Antwoord

Gegeven:
Zie figuur, ΔABC is scherphoekig.

Te bewijzen:
Vierhoek ABPQ is een koordenvierhoek.

Bewijs:
Neem ∠CAB = α en ∠CBA = β. ΔACF en ΔFPC zijn gelijkvormig (hh).
Je ziet dat ∠CFP = α en ∠PFA = ∠FCA = 90° – α. Noem die hoek γ.
Net zo is ∠CFQ = β en ∠QFB = ∠FCB = 90° – β. Noem die hoek δ.
De twee rechte hoeken bij P en Q vertellen je dat CPFQ een koordenvierhoek is, dus er gaat een cirkel door C, P, F en Q en je kunt iets met omtrekshoeken proberen. ∠PQF is een omtrekshoek bij de koorde PF. ∠PCF is een omtrekshoek bij dezelfde koorde, en aan dezelfde kant. Dus ∠PQF = γ.
Nu ben je er: ∠PQB = 90° + γ dus ∠PQB + ∠PAB = 90° + γ + α = 90° + 90° = 180°, dus ABQP is een koordenvierhoek. Q.e.d.