Voorbeeld

Bewijs de omgekeerde koordenvierhoekstelling:
Als de som van een paar overstaande hoeken van een vierhoek 180° is, dan is die vierhoek een koordenvierhoek.

Antwoord

Te bewijzen:
Vierhoek ABCD is een koordenvierhoek als ∠ABC + ∠ADC = 180°.

Bewijs:
Neem de omgeschreven cirkel c van ΔABC.
Neem aan dat ∠ABC + ∠ADC = 180°.
Er zijn nu drie mogelijkheden:

• Punt D ligt op c. Dan ben je al klaar.
• Punt D ligt buiten c. CD snijdt c in E. ABCE is een koordenvierhoek. Dus ∠BCD + ∠BAE = 180°. Maar ook is ∠BCD + ∠BAD = 180°, terwijl ∠BAE < ∠BAD. Dit geval kan zich dus niet voordoen.
• D ligt binnen c. Nu snijdt het verlengde van CD de cirkel. De tegenspraak komt nu van ∠BAE > ∠BAD.