Voorbeeld

De volgende stelling komt niet in de lijst van definities/stellingen in de Vlakke Meetkunde voor vwo wiskunde B voor. Hij moet worden bewezen door alleen gebruik te maken van wat op die lijst voorkomt.
Stelling:
Bij twee snijdende koorden is het product van de twee stukken waarin de éne koorde de andere verdeelt voor beide koorden hetzelfde.

Antwoord

Gegeven:
Laat AB en CD twee koorden zijn van een cirkel met middelpunt M die elkaar snijden in een punt S dat binnen de cirkel ligt. Zie figuur.

Te bewijzen: Je moet dan bewijzen dat |AS| · |BS| = |CS| · |DS|.

Bewijs:
Omdat ∠BAC en ∠BDC allebei omtrekshoeken van koorde BC zijn, met A en D aan dezelfde kant van BC als M is ∠BAC = ∠BDC (stelling van de constante hoek). Omdat ook ∠ASC = ∠DSB (overstaande hoeken) is ΔASC gelijkvormig met ΔDSB.
Daaruit volgt: |AS| : |DS| = |CS| : |BS| en dus |AS| · |BS| = |CS| · |DS|.
Q.e.d.