Voorbeeld

In een cirkel horen gelijke bogen bij gelijke koorden. (stelling boog en koorde)
Dit betekent: als cirkelbogen AB en CD gelijk zijn, dan zijn de bijbehorende koorden AB en CD gelijk en omgekeerd. Het zijn eigenlijk twee stellingen.
(Bij een koorde horen steeds twee cirkelbogen, een grote en een kleine. Bij twee gelijke koorden zijn de kleine bogen aan elkaar gelijk en de grote bogen aan elkaar gelijk.)

Antwoord

Te bewijzen:
Als koorde AB gelijk is aan koorde CD, dan is cirkelboog AB gelijk aan cirkelboog CD en omgekeerd.

Bewijs:
Merk eerst op dat bij gelijke middelpuntshoeken gelijke cirkelbogen horen als beide bogen op dezelfde cirkel liggen.
Laat M het middelpunt zijn, en AB en CD twee gelijke koorden. Ook geldt |MA| = |MB| = |MC| = |MD|. Dus ΔMAB is congruent met ΔMCD (ZZZ). Dus ∠AMB = ∠CMD.
Omgekeerd als beide cirkelbogen gelijk zijn, dan is ∠AMB = ∠CMD. Weer is |MA| = |MB| = |MC| = |MD|. Dus ΔMAB is congruent met ΔMCD (ZHZ). Dus |AB| = |CD|. Q.e.d.