Voorbeeld

Hier zie je hoe de kortste weg van punt A naar punt B via de beek wordt geconstrueerd door een loodlijn door B op de beek te trekken en dan vervolgens een punt D te tekenen dat op die loodlijn en even ver van de beek ligt. Het snijpunt C van AD en de beek levert de korste route AC + BD.
Bewijs dat deze constructie juist is.

Antwoord

Gegeven:
Uit de constructie volgt dat BD loodrecht staat op de beek, dus ∠BEC = ∠DEC = 90°. Verder is BE = ED en lijn AD een rechte lijn.

Te bewijzen:
AC + CB is de kortste afstand van A naar B via de beek.

Bewijs:
Uit de gegevens volgt meteen dan ΔCBE en ΔCDE congruent zijn (ZHZ).
Dus is CD = CB.
De punten A, C en D liggen op de rechte lijn AD en dus is AC + CD de kortste afstand van A naar D (driehoeksongelijkheid).
En daarom is AC + CB = AC + CD ook de kortste afstand.
Q.e.d.