Voorbeeld

Bewijs:
Een driehoek waarvan de hoekpunten de middens zijn van drie zijden van een vierkant is rechthoekig en gelijkbenig.

Antwoord

Gegeven:
Zie figuur; er zijn letters ingevoerd, de streepjes geven gelijke lijnstukken aan. ABCD is een vierkant.
AP = PB, CQ = QD en DR = RA.

Te bewijzen:
PR = QR en ∠PRQ = 90°.

Bewijs:
Omdat PB = QC en PB // QC, is PBCQ een parallellogram (stelling parallellogram). Bovendien heeft PBCQ een rechte hoek en is dus een rechthoek (stelling rechthoek). Als a de lengte van de zijden van het vierkant ABCD is, is dus ook PQ = a.
Omdat ΔAPR gelijkbenig en rechthoekig is geldt PR² = ($\frac{1}{2}$a)² + ($\frac{1}{2}$a)² = $\frac{1}{2}$a².
Op dezelfde wijze is RQ² = $\frac{1}{2}$a². En dus is RP = RQ.
Dus geldt in ΔPQR dat PR² + RQ² = $\frac{1}{2}$a² + $\frac{1}{2}$a² = a² = PQ².
En daarom is ΔPQR rechthoekig (omgekeerde stelling van Pythagoras).
Q.e.d.