Bewijs

De eigenschappen van logaritmen bewijs je vanuit de definitieformules (die volgen meteen uit de definitie van logaritme). Steeds geldt 0 < g < 1 of g > 1 en als a > 0 en b > 0.

Je gaat uit van de bekende eigenschappen van machten.
Bijvoorbeeld: g^r · g^s = g^r + s.
Neem je hierin r = ^glog(a) en s = ^glog(b), dan vind je:
g^{glog(a) + glog(b)} = g^glog(a) · g^glog(b) = a · b.
Hierbij gebruik je de definitieformules.
Neem tenslotte links en rechts van de vergelijking de g-logaritme en je vindt:
^glog(a) + ^glog(b) = ^glog(a · b)

Op vergelijkbare wijze bewijs je: p · ^glog(a) = ^glog(a^p).
En de derde eigenschap volgt door de andere twee te combineren (met p = –1).

De vergelijking g^x = a kun je nu met deze eigenschappen oplossen.
Beide kanten p-logaritme nemen: ^plog(g^x) = ^plog(a).
Eigenschappen toepassen: x · ^plog(g) = ^plog(a).
En dus is de oplossing: x = ^plog(a) / ^plog(g).
Je ziet: ^glog(a) = ^plog(a) / ^plog(g).