Uitleg

De lengte L van de grafiek van f(x) = x² op [0,1] wordt benaderd door dit interval op te delen in deelintervallen met een breedte van Δx. Op elk deelinterval heeft de grafiek een beginpunt en een eindpunt, het lijnstukje tussen beide benadert de grafiek steeds beter naarmate Δx naar 0 nadert. Als je de lengtes van al die lijnstukjes optelt, krijg je een benadering van L:

L ≈ ${\displaystyle \sum _{k=1}^n\sqrt{{(\Delta x)}^2+{(\Delta y_k)}^2}={\displaystyle \sum _{k=1}^n\sqrt{1+{\left(\frac{\Delta y_k}{\Delta x}\right)}^2}\cdot \Delta x}}$

Laat je nu Δx steeds dichter naar 0 naderen, dan nadert $\frac{\Delta y_k}{\Delta x}$ naar f'(x_k).
De Riemannsom gaat dan over in: L = ${\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1+{(f\text{'}(x))}^2}\text{d}x}$
Omdat f'(x) = 2x wordt dit: L = ${\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1+4x^2}\text{d}x}$ ≈ 1,47894...