Voorbeeld

Gegeven is de functie f door f(x) = $\frac{(x-2)(x-9)}{\sqrt{x}}$.
V is het vlakdeel ingesloten door de grafiek van f en de x-as.
Bereken de oppervlakte van dit vlakdeel met behulp van primitiveren in twee decimalen nauwkeurig.

Antwoord

Eerst de functie herschrijven: f(x) = $\frac{x^2-11x+18}{x^{\mathrm{0,5}}}$ = x^1,5 – 11x^0,5 + 18x^–0,5.
De primitieve van f is:
F(x) = $\frac{1}{\mathrm{2,5}}$x^2,5 – $\frac{11}{\mathrm{1,5}}$x^1,5 + $\frac{18}{\mathrm{0,5}}$x^0,5 + c = $\frac{2}{5}$x²$\sqrt{x}$ – $\frac{22}{3}$x$\sqrt{x}$ + 36$\sqrt{x}$ + c.

Kijkend naar de grafiek van f constateer je dat het gaat om de integraal van f op het interval [2,9]. Alleen zijn dan alle functiewaarden negatief en daarom de uitkomst ook.
De gevraagde oppervlakte is ${\displaystyle \underset{2}{\overset{9}{\int }}-f(x)\text{d}x}$ = –F(9) – –F(2) ≈ 25,23.