Voorbeeld

f(x) = x³ – 8x² en g(x) = x² – 4 zijn voorbeelden van functievoorschriften van veeltermfuncties.
q(x) = f(x) / g(x) is het quotiënt van deze veeltermfuncties.
Laat zien dat q geen veeltermfunctie is en bepaal de asymptoten van de grafiek van q.

Antwoord

q wordt opnieuw een veeltermfunctie als deling van f en g "op 0 uitkomt".
Dat is echter niet het geval, als je een staartdeling uitvoert houd je –28x over.
Dit betekent: q(x) = $\frac{x^3-8x^2}{x^2-4}=x-8-\frac{28x}{x^2-4}$

Het functievoorschrift krijgt niet de gedaante van een veelterm, het blijft een gebroken functie.
Als x² – 4 = 0 dan zijn er geen reële uitkomsten (delen door 0).
Dit is het geval als x = –2  V  x = 2. Aan de grafiek zie je dat bij deze waarden van x verticale asymptoten optreden.
Horizontale asymptoten zijn er niet: als x oneindig groot wordt, benadert $\frac{28x}{x^2-4}$ de waarde 0 en wordt dus q(x) ≈ x – 8. Hetzelfde geldt als x hele grote negatieve waarden aanneemt.