Voorbeeld

f(x) = x³ – 8x² en g(x) = x² – 4 zijn voorbeelden van functievoorschriften van veeltermfuncties.
p(x) = f(x) · g(x) is het product van deze veeltermfuncties.
Laat zien dat p ook een veeltermfunctie is en leg uit waarom het aantal toppen van de grafiek van p precies één meer is dan dat van f en g samen.

Antwoord

p(x) = (x³ – 8x²)(x² – 4) = x⁵ – 8x⁴ – 4x³ + 32x²
Je ziet dat het functievoorschrift van p inderdaad als veelterm kan worden geschreven.

De extremen vind je uit p'(x) = 5x⁴ – 32x³ – 12x² + 64x = 0.
Ondanks dat je x buiten haakjes kunt halen, is deze vergelijking niet eenvoudig op te lossen.
Je moet de extremen van p daarom met de GR bepalen.
Ga na, dat je vindt: max.p(–1,44) ≈ 37,71, min.p(0) = 0, max.p(1,37) ≈ 26,42 en min.p(6,46) ≈ –2424,9.

Bekijk je alle drie de grafieken, dan zie je dat f twee, g één en p vier extremen heeft. Waarom dit zo is, zie je aan de hun afgeleiden. f' heeft 2 als hoogste macht, g' heeft 1 als hoogste macht en p' heeft 4 als hoogste macht. Die hoogste machten van de afgeleiden bepalen hoeveel extremen er hoogstens zijn.