Voorbeeld

Gegeven is de familie van functies
f_p(x) = x³ – px² + 9x.
Voor welke waarden van p heeft de grafiek van f_p precies twee extremen? Toon ook aan dat elke functie van deze familie precies één buigpunt heeft.

Antwoord

Voor de extremen geldt:
f'_p(x) = 3x² – 2px + 9 = 0
Er zijn twee oplossingen als
D = (–2p)² – 4 · 3 · 9 > 0.
Dit is het geval als: p < –$\sqrt{27}$  V  p > $\sqrt{27}$.
Omdat de grafiek van f'_p dan een dalparabool is met twee nulpunten, wisselt de afgeleide ook van teken, zodat er inderdaad extremen te bewonderen zijn.

Voor de buigpunten geldt:
f"_p(x) = 6x – 2p = 0
Deze vergelijking heeft voor elke p precies één oplossing. De grafiek van f"_p is een rechte lijn met een nulpunt en f"_p wisselt dus van teken, er is een buigpunt.