Stelling

De afgeleide van f(x) = cxⁿ is f'(x) = ncx^n – 1 voor elke waarde van c en voor gehele positieve waarden van n.

Bewijs

Dat doe je zo:

$f\text{'}(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{c{(x+h)}^{n+1}-c{x}^{n+1}}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(x+h)\cdot c{(x+h)}^n-x\cdot c{x}^n}{h}=$

         $=\underset{h\to 0}{\lim }\left(x\cdot \frac{c{(x+h)}^n-c{x}^n}{h}+\frac{h\cdot c{(x+h)}^n}{h}\right)=x\cdot nc{x}^{n-1}+c{x}^n=nc{x}^n+c{x}^n=(n+1)c{x}^n$

Je ziet dat je gebruik moet maken van de geldigheid van de stelling voor n.
Daaruit volgt dus de geldigheid voor n + 1.

Omdat de stelling geldig is voor n = 1, is hij dat nu ook voor n = 2, 3, 4, 5, ...
Deze manier van bewijzen noem je wel het domino-principe: als de eerste steen omvalt, vallen alle daarop volgende stenen ook. In de wiskunde heet deze manier van bewijzen: de bewijsmethode met volledige inductie. Daarbij bewijs je een stelling voor een bepaalde gehele waarde van n. Vervolgens bewijs je dat vanuit de geldigheid voor een willekeurige n ook de geldigheid voor n + 1 volgt. Als dat lukt, heb je de stelling bewezen voor elke gehele n vanaf de gehele waarde waarmee je begon. En dat is ons hier gelukt...