Stelling

De afgeleide van f(x) = cxⁿ is f'(x) = ncx^n – 1 voor elke waarde van c en voor gehele positieve waarden van n.

Bewijs

Deze stelling geldt voor n = 1, want f(x) = cx geeft f'(x) = c = 1cx^1 – 1. (Immers dan is f een lineaire functie met hellingsgetal c.)

Neem nu eens aan dat de formule voor een bepaalde n geldt. En stel dat je kunt aantonen dat daaruit volgt dat hij dan ook voor n + 1 geldt. Dan geldt hij voor alle gehele positieve waarden van n, want uit de geldigheid voor n = 1 volgt dan die voor n = 1 + 1 = 2 en daaruit die voor n = 2 + 1 = 3, enzovoort...

Dus moet worden aangetoond: uit de regel geldt voor n volgt dat hij geldt voor n + 1.
Je neemt dus aan dat als f(x) = cxⁿ dan is f'(x) = ncx^n – 1, ofwel:

$f\text{'}(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{c{(x+h)}^n-c{x}^n}{h}=nc{x}^{n-1}$

Nu naar n + 1.

Aangetoond moet worden: als f(x) = cx^n + 1 dan is f'(x) = (n + 1)cxⁿ.