Voorbeeld

Leid de verdubbelingsformules af uit de somformules.
Stel ook een vergelijkbare formule op voor tan(2x).

Antwoord

Neem sin(α + β) = sin(α) · cos(β) + cos(α) · sin(β).
Kies α = x en β = x.
Je vindt: sin(2x) = sin(x) cos(x) + sin(x) cos(x) = 2 sin(x) cos(x).

Neem cos(α + β) = cos(α) · cos(β) – sin(α) · sin(β).
Kies α = x en β = x.
Je vindt: cos(2x) = cos(x) cos(x) – sin(x) sin(x) = cos²(x) – sin²(x).
M.b.v. sin²(x) + cos²(x) = 1 kun je de twee andere formules voor cos(2x) uit de voorgaande afleiden.

tan(2x) = $\frac{\sin (2x)}{\cos (2x)}=\frac{2\sin (x)\cos (x)}{{\cos }^2(x)-{\sin }^2(x)}$.
Deel je nu teller en noemer van deze breuk door cos²(x), dan krijg je:
tan(2x) = $\frac{2\tan (x)}{1-{\tan }^2(x)}$.