Voorbeeld

Gegeven is de familie van functies f_a(x) = x³ + ax.
Voor elke waarde van a heb je hier met een andere functie te maken. Je kunt hier een paar grafieken van deze familie van functies zien door a te variëren. Sommige functies f_a hebben extremen, andere niet. De vraag is nu hoe de extremen van f_a afhangen van de waarde van a.

Antwoord

De afgeleide is f'_a(x) = 3x² + a.
Deze afgeleide heeft als nulwaarden x = ±$\sqrt{\frac{-a}{3}}$.
Er zijn dus alleen nulwaarden als $a\le 0$   omdat de wortels anders geen reële waarden opleveren. De twee mogelijkheden zijn:

• Als a = 0, dan is alleen x = 0 de nulwaarde. De afgeleide is dan f'₀(x) = 3x² en is dus voor elke waarde van x positief of 0. Er zijn geen extremen, in (0, 0) heeft de grafiek een horizontale raaklijn.
• Als a < 0 dan zijn er twee nulwaarden. De afgeleide is een dalparabool met twee nulpunten. Er is een maximum voor x = –$\sqrt{\frac{-a}{3}}$  en een minimum voor x = $\sqrt{\frac{-a}{3}}$.