| Pythagoras was de eerste echte wiskundige en verder een bekend filosoof met een eigen 'school'. Hij leefde in de zesde eeuw v.Chr. (580 - 500??) en is afkomstig van het Griekse eiland Samos. Omstreeks 520 v.Chr. verhuisde hij naar Croton (het huidige Crotone in Zuid-Italië), waar hij zijn beroemde filosofische school stichtte. Zijn naaste volgelingen (die 'mathematikoi' werden genoemd) kregen van hemzelf les. Hij leerde bijvoorbeeld dat alles in diepste wezen wiskundig van aard is. Pythagoras en de 'Pythagoreërs' waren daarbij voornamelijk geïnteresseerd is het begrip getal, het begrip figuur, het begrip bewijs. Zij behandelden die voor het eerst als abstracte begrippen. Over echt wiskundig werk van Pythagoras zelf is weinig bekend. Aan de Pythagoreërs wordt het bewijs dat de som van de hoeken van en driehoek gelijk is aan twee rechte hoeken en de beroemde stelling van Pythagoras toegeschreven.
» De tijd van Pythagoras |
 |
|
Links naar nederlandstalige sites: » Over Pythagoras » Het wiskundetijdschrift "Pythagoras" Links naar anderstalige sites: » Over Pythagoras » YouTube: Bronowski over de stelling van Pythagoras |
De tijd waarin Pythagoras leefde
Pythagoras leefde aan het begin van de bloei van de Griekse beschaving. Hij was de eerste filosoof die de wiskunde als zelfstandige wetenschap zag, los van de praktijk.
In die tijd hadden de Griekse steden koloniën gesticht langs grote delen van de Middellandse Zee. Onder andere waren er veel steden in het huidige Zuid-Italië (Croton, Sybaris) en Sicilië (Syracuse, Naxos), langs de kusten van de Zwarte Zee (Byzantum, Odessus, Istrus) en het huidige Noord-Turkije (Heraclea Pontica, Sinope) gesticht. Deze steden herbergden de Grieken die er als burgers van de bijbehorende Griekse moedersteden heen waren getrokken en er de macht in handen hadden. Bovendien was de gehele kust van de Egeïsche Zee (ook het huidige West-Turkije met een belangrijke steden als Milete en Tyrus) Grieks.
De Grieken waren (net als de Phoeniciërs) zeevaarders en reisden daarom nogal wat af. Dat gold ook voor Pythagoras, die in welgestelde omstandigheden opgroeide op het eiland Samos met als vader een koopman uit Tyrus.
Hij maakte het opgaan van het Babylonische Rijk in het Perzische keizerrijk o.l.v. Cyrus II (tot 529), Cambyses II (tot 522) en later Darius (522 - 486 v.Chr.) mee, evenals de verovering door Cambyses II (de koning van Perzië) van Egypte. Veel van zijn tijd bracht hij door in Egypte en later in Croton (in Zuid-Italië).
559 - 522 v.Chr.: Cyrus II regeert het totale Perzische Rijk (Perzië en Medië).
529 - 522 v.Chr.: Regering van Cambyses II van Perzië die in 522 werd vermoord door Darius, zijn opvolger vanaf 522.
530 - 522 v.Chr.: Polycrates tiran van Samos.
Over Pythagoras
Pythagoras' vader was Mnesarchus, een koopman uit Tyrus (in het huidige Zuidwesten van Turkije). Zijn moeder Pythais is geboren op het eiland Samos. Als kind leefde Pythagoras op Samos, maar hij reisde veel met zijn vader mee. Hij schijnt toen al een bezoek aan Italië te hebben gebracht.
Over zijn kindertijd is vrijwel niets bekend. Alleen is het zeker dat hij in een familie van goede doen leefde en een brede opvoeding heeft genoten: hij leerde de lier bespelen, hij las poëzie (bijvoorbeeld Homerus). Hij kreeg les van de filosoof Pherekydes.
Verder werd hij sterk beïvloed door de filosofen Thales (die hij heeft bezocht toen deze al oud was) en Anaximander, die beiden in die tijd in Milete leefden. Door lessen van Anaximander in Thales' filosofie werd Pythagoras' interesse in wiskunde en astronomie gewekt.
In die tijd greep de Polycrates de macht in Samos-stad. Pythagoras schijnt met hem op goede voet te hebben gestaan en in 535 v.Chr. reisde Pythagoras op aanbeveling van Polycrates naar Egypte. Daar maakte hij kennis met de daar heersende gebruiken, waarvan er veel zijn terug te vinden in de regels die golden voor Pythagoras' latere volgelingen, zoals hun verbod op het eten van bonen, hun streven naar reinheid, hun geheimzinnige rituelen.
In 525 v.Chr. viel Cambyses II, de koning van Perzië, Egypte binnen. Polycrates verbrak zijn contacten met Egypte en hielp Cambyses met zijn aanval. Egypte viel in handen van Cambyses en Pythagoras werd als gevangene meegenomen naar Babylon. Nadat Polycrates in 522 v.Chr. werd gedood en Cambyses diezelfde zomer stierf, keerde Pythagoras omstreeks 520 v.Chr. terug naar Samos. Pythagoras reisde kort na zijn terugkeer naar Kreta om daar de wetgeving te bestuderen. Terug in Samos-stad stichtte hij een 'school' die vooral bedoeld was (en tot op dit moment is) voor het houden van politieke bijeenkomsten, waarin discussies over goedheid en gerechtigheid plaatsvonden. Buiten de stad richtte hij een eigen stek in voor het geven van lessen op het gebied van filosofie en waar hij veel van zijn tijd besteedde aan wiskunde. Op Samos was hij een geziene figuur die meer en meer verwikkeld raakte in plaatselijke politieke geschillen. In 518 v.Chr. verliet Pythagoras het eiland Samos en vestigde hij zich in Croton, wellicht om verdere verwikkelingen te voorkomen. Daar stichtte hij een nieuwe school: de Gemeenschap van Pythagoreërs. Ook Pythagoras' Gemeenschap in Croton bleef niet buiten politieke verwikkelingen, ondanks zijn pogingen daartoe.
In 513 v.Chr. ging Pythagoras naar Delos om zijn oude leraar Pherekydes (die op sterven lag) te verplegen. Hij bleef daar tot diens dood en keerde pas na maanden terug naar Croton. In 510 v.Chr. werd Croton aangevallen en verslagen door Sybaris, een stad die er vlak bij lag. In 508 v.Chr. werd de Gemeenschap van de Pythagoreërs in Croton bedreigd door Cylon (een notabele van Croton) en Pythagoras moest vluchten naar Metapontium, waar hij waarschijnlijk is overleden, volgens sommigen door zelfmoord vanwege de bedreiging van zijn Gemeenschap.
De Pythagoreërs
In Croton (het huidige Zuiditaliaanse Crotone) stichtte Pythagoras zijn beroemde filosofische school. Hij had veel aanhangers die zich 'Pythagoreërs' noemden. Pythagoras was het hoofd van een een groep naaste volgelingen die 'mathematikoi' werden genoemd. Zij leefden permanent binnen de muren van de 'gemeenschap'. Ze hadden geen persoonlijke bezittingen en waren vegetariërs. Ze kregen les van Pythagoras zelf en gehoorzaamden aan strakke regels. Ze leerden:
- dat het wezen van alles wiskunde is;
- dat filosofie kan helpen bij het bereiken van geestelijke zuiverheid;
- de ziel én kan worden met het goddelijke;
- dat bepaalde symbolen een mystieke betekenis hebben;
- dat ze onderling strikte loyaliteit moesten betrachten.
Zowel mannen als vrouwen konden 'mathematikoi' worden, zodat ook enkele (latere) vrouwelijke Pythagoreërs bekende filosofen zijn geworden.
Naast de mathematikoi kende de gemeenschap van Pythagoreërs akousmatikoi, die niet binnen de muren van de 'gemeenschap' woonden. Zij konden wel bezittingen hebben en waren ook geen vegetariër.
Vanaf 510 v.Chr. raakte de Pythagorische Gemeenschap in Croton in de moeilijkheden na het veroveren van Croton door Sybaris. Zij verspreidde zich echter over veel andere Italiaanse steden. Na 500 v.Chr. werd de Gemeenschap meer politiek getint en na 460 v.Chr. werden de toenmalige leden vervolgd. Hun ontmoetingsplaatsen werden vernield. Vele Pythagoreërs vluchtten toen naar Thebe en andere Griekse steden.
Het werk van Pythagoras en zijn volgelingen
Er zijn geen boeken of geschriften van Pythagoras zelf bekend. Omdat zijn 'school' zowel geheimhouding als sterke samenwerking benadrukte, is er geen onderscheid te maken tussen zijn werk en dat van zijn volgelingen.
De Pythagoreërs leverden belangrijke bijdragen aan de wiskunde door het belang van de studie van abstracte getallen, figuren en bewijsmethoden te benadrukken.
Voor het eerst werd o.a. het abstracte getal een onderwerp van studie en ging het niet langer concrete aantallen van iets.
Volgens Aristoteles (die enkele eeuwen later leefde):
"de Pythagoreër ... opgegroeid met de studie van de wiskunde, denkt dat voorwerpen getallen zijn ... en dat de hele kosmos uit getallen bestaat."
Behalve met wiskunde hield Pythagoras zich bezig met astronomie en muziek. Hij ontdekte dat een trillende snaar harmonische tonen produceert als de verhoudingen van de snaarlengtes gehele getallen zijn.
Tegenwoordig kennen we Pythagoras vooral vanwege de beroemde Stelling van Pythagoras. Hij (of én van zijn volgelingen) bewees dat de som van de oppervlakten van de vierkanten op de rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek, gelijk is aan de oppervlakte van het vierkant op de schuine zijde.
In de animatie hiernaast zijn dus de oppevlaktes van het rode en het groene vierkant samen even groot als die van het blauwe vierkant. De animatie laat een bewijs van die stelling zien, met methoden die ook de Oude Grieken kenden.
Daarbij wordt gebruik gemaakt van het feit dat alle parallellogrammen met dezelfde basis en gelijke hoogte dezelfde oppervlakte hebben.
Verder werken van de Pythagoreërs zijn:
- Het bewijs dat de hoeken van een driehoek samen twee rechte hoeken vormen, alsmede de uitbreiding van deze stelling: van een veelhoek met zijden is de som van de binnenhoeken gelijk aan die van rechte hoeken.
- Het construeren van figuren met een gegeven oppervlakte en een soort van meetkundige algebra. (Wat wij nu vergelijkingen noemen losten zij meetkundig op.)
- De ontdekking van de irrationale getallen: getallen die niet als breuk zijn te schrijven, zoals de wortel van 2.
- De vijf regelmatige lichamen: tetraëder (regelmatig viervlak), kubus, octoëder (regelmatig achtvlak); dodecaëder (regelmatig twaalfvlak); isocaëder (regelmatig twintigvlak).
- In de astronomie leerden ze dat de aarde een bol was in het centrum van het heelal, dat de baan van de maan een hoek maakte met de evenaar en dat Venus de morgenster dezelfde plannet was als Venus de avondster.
Math4all