Voorbeelden van probleemaanpak

Hier vind je een paar voorbeelden van het opstellen van modellen en/of het toepassen van het probleemaanpak-ABC.

Vierkant in driehoek (probleemaanpak)
Gebroken mast (probleemaanpak en eenvoudig model)
Kogelbaan (modelleren)

Vierkant in driehoek

Dit voorbeeld is afkomstig van de wiskundige George Polya die zich veel met probleemaanpak bezighield. Het is een voorbeeld uit de zuivere wiskunde, dus de stap van het eerst maken van een wiskundig model is niet nodig. De ABC-aanpak is er wel mooi zichtbaar.

Teken in een willekeurige driehoek een vierkant, waarvan twee hoekpunten op de langste zijde van de driehoek liggen en de andere twee hoekpunten op de andere twee zijden van de driehoek liggen, op elke zijde n.
Probeer een methode te bedenken zo, dat zo'n vierkant in elke driehoek eenvoudig kan worden getekend.

Oplossing:

ANALYSE en AANPAK ZOEKEN :
Maak eerst een tekening van een driehoek. De lange zijde is voor het gemak horizontaal getekend. Nu lijkt proberen de aangewezen weg. Teken er maar eens een paar vierkantjes in.
Zorg er voor dat in ieder geval aan een deel van de voorwaarden is voldaan: één zijde op de lange zijde van de driehoek en in ieder geval één hoekpunt op één van de korte zijden. Hier zie je een paar probeersels. Nu moet je proberen te ontdekken of je aan al die probeersels iets herkent. Of ze allemaal eenzelfde eigenschap hebben waar je gebruik van kunt maken. Gemakkelijk is dat niet, probeer eventueel meer vierkantjes. Het lijkt er op dat alle "losse hoekpunten" (de hoekpunten die nog niet op een zijde van de driehoek liggen) recht achter elkaar liggen, dus op een rechte lijn liggen. Die rechte lijn moet dan wel door A gaan (waarom?).
Nu je dit hebt ontdekt is de oplossing niet meer ver weg. De getekende rechte lijn snijdt immers de korte zijde van de driehoek waar nog geen hoekpunt van het vierkant op ligt. Dit belangrijke punt zie je in de volgende tekening. Vanuit dat punt kun je het bedoelde vierkant tekenen.
BEWERKEN, oplossing opschrijven:
De oplossing van het probleem is nu gevonden:
- Je tekent de driehoek met één vierkant er in. Van dat vierkant licht één zijde op de lange zijde van de driehoek en één hoekpunt op één van de twee korte zijden.
- Door het "losse hoekpunt" en door punt A teken je een lijn.
- Die lijn snijdt de andere korte zijde.
- Vanuit dat snijpunt teken je het juiste vierkant.
CONTROLE:
Hoe weet je nu zeker dat dit inderdaad een zuiver vierkant is geworden? Nameten kan natuurlijk, maar hele kleine verschillen in de lengtes van de zijden merk je dan nog steeds niet.
Eigenlijk moet je nu een overtuigend bewijs leveren! En dat is nog niet zo eenvoudig. Als je met gelijkvormige driehoeken kunt werken is het echter wel te doen: een uitdaging voor de echte wiskundige.

Gebroken mast

Zodra je niet meer een zuiver wiskundig probleem krijgt voorgeschoteld moet je een model maken, de werkelijkheid vereenvoudigen. een leuk probleem in dit opzicht is dat van de gebroken mast.

Een vlaggenmast is stevig in de grond bevestigd. Hij is 10 meter hoog en door een harde rukwind afgebroken. Het afgebroken stuk zit nog wel vast aan het stuk dat in de grond zit. De top van de mast is op 3 meter van de voet op de grond terecht gekomen.
Op welke hoogte (vanaf de grond) is de mast afgebroken?

Oplossing:

ANALYSE:
Het eerste wat je natuurlijk doet is een tekening maken. In feite maak je dan meteen een model van de situatie: je neemt aan dat de mast gewoon een lijnstuk is en dat door het afbreken een zuiver rechthoekige driehoek is ontstaan. Die rechte hoek komt van de veronderstelling dat de mast netjes loodrecht op de grond is gezet.
Vervolgens zet je de gegevens neer. Ook geef je aan wat er moet worden berekend, bijvoorbeeld met een vraagteken.
AANPAK:
Nu moet je een manier bedenken om het probleem op te lossen. Omdat het over een rechthoekige driehoek gaat, zoek je naar eigenschappen van rechthoekige driehoeken. Daarbij kom je de stelling van Pythagoras wel tegen. Maar... er lijken zo op het oog twee zijden onbekend te zijn!
Gelukkig weet je hoe lang die twee zijden samen zijn, ze vormen immers de gehele mast samen. Nu kun je even wat gaan proberen. Of maar meteen een variabele invoeren.
BEWERKEN:
Noem de lengte die je moet berekenen x. De lange zijde van de rechthoekige driehoek is dan 10 − x. En dus kun je de stelling van Pythagoras gebruiken:

3² + x² = (10 − x)²

Bereken hieruit de waarde van x.
Ga na, dat x = 4,55.
CONTROLE:
Geef eerst nog even netjes antwoord op de vraag: De mast is op 4,55 m boven de grond afgebroken.
Ga ook nog na dat de lengte van het afgebroken stuk 5,45 m is. Beide getallen liggen tussen de 0 en de 10 m, dat geeft al vast enig vertrouwen...

Kogelbaan

In diverse takken van sport zie je voorwerpen door de lucht vliegen: vaak een bal of een kogel die een fraaie boog beschrijft. Deze kogelstoter bijvoorbeeld geeft zijn kogel zo'n kogelbaan. Wat moet de kogelstoter doen om zijn kogel zo ver mogelijk te werpen? Is zo hard mogelijk stoten, dus een zo groot mogelijke snelheid meegeven, het belangrijkste? Of is de hoek waaronder hij stoot ook van belang?

Een kogelbaan is de baan die een voorwerp doorloopt als het onder een bepaalde hoek wordt afgeschoten en daarna alleen onder invloed van de zwaartekracht beweegt.
Onderzoek hoe de kogelbaan verloopt en bereken de grootste afstand die bij een bepaalde beginsnelheid kan worden behaald.

Oplossing:

ANALYSE:
Gelukkig weten we allemaal hoe de baan van zo'n kogel er uit ziet: een mooi boogje. Neem maar even aan vanaf de grond tot hij weer op de grond komt. (Dat hoeft natuurlijk niet, de kogel wordt meestal boven de grond afgevuurd. Dit is alvast een model-aanname...). Hier zie je een schets van zo'n baan in een xy-assenstelsel.
De kogel heeft op het moment van "loslaten" een snelheid, noem die maar v₀.
Verder wordt hij onder een hoek afgeschoten, zeg maar α.
Laten we maar even niet letten op de luchtweerstand. (Nog een model-aanname!)
Tenslotte ligt het voor de hand dat in de x-richting de afgelegde afstand het product is van de snelheid in die richting en de tijd t. (Ja toch?)
In de y-richting geldt dit ook wel, maar nu doet de zwaartekracht mee, die "trekt" de kogel "naar beneden". Daar heb je wat natuurkunde bij nodig: even de zwaartekrachtwetten bekijken...
AANPAK:
Je gaat nu formules maken voor de afgelegde afstand x (horizontale richting) en de afgelegde afstand y (in de verticale richting). Vervolgens maak je bijvoorbeeld met Excel een grafiek. Zorg dat je v₀ en α nog kunt variëren. Daarmee heb je een wiskundig model gemaakt en daarmee kun je dan experimenteren.
BEWERKEN:
De snelheid in de x-richting is v₀ · cos(α).
De snelheid in de y-richting is v₀ · sin(α), maar daar telt ook de zwaartekracht nog mee.
Dus is:
x = v₀ · cos(α) · t en y = v₀ · sin(α) · t − 0,5 ·g · t².

Hierin is g de gravitatieconstante: g ≈ 9,81 m/s².
Hiermee maak je een model in Excel: Model kogelbaan.
En dan maar even experimenteren... (Eerst het XL-bestand opslaan met rechter muisknop op de eigen computer.)
CONTROLE: :
Een mooie controle van je formules is het vergelijken van de eenheden links en rechts van het is-gelijk-teken: in de formule x = v₀ · cos(α) · t is links van het is-gelijk-teken de meter de eenheid, rechts wordt m/s vermenigvuldigt met een getal (cos(α)) en met de tijd, dus met seconden. En [m/s] × [s] = [m], dus is ook rechts van het is-gelijk-teken de meter de eenheid. Ga na dat ook de tweede formule op die manier klopt.
Je noemt dit vergelijken van eenheden links en rechts van het is-gelijk-teken wel dimensie-analyse.
Een tweede controle is de vorm van de baan: dit moet je vertrouwd voorkomen, het lijkt op een parabool.
Een rechtgeaard wiskundige leidt nu een verband af tussen x en y, een formule voor y als functie van x. Dit wordt een kwadratisch verband, ga maar na!!!

Verder is het nog leuk om te kijken of je in je model rekening kunt houden met de luchtweerstand. Die is recht evenredig met de snelheid van het voorwerp...
Pas je model aan!!!

Zie ook deze simulatie van de kogelbaan.