Voorbeeld

Bepaal alle oplossingen in het complexe vlak van de vergelijking z³ = –1.

Antwoord

Het getal –1 is te schrijven als: –1 = e^πi.

Omdat z = r e^iφ, kun je de gegeven vergelijking schrijven als: (r e^iφ)³ = e^πi, zodat r³ e^3iφ = e^πi.

Dit betekent dat: r³ = 1 en dus r = 1.
En ook dat: 3φ = π + k · 2π en dus φ = $\frac{1}{3}$π + k · $\frac{2}{3}$π met $k\in \mathbb{Z}$.

Daarmee heb je drie oplossingen in het complexe vlak gevonden, te weten:

z₁ = 1 e^{$\frac{1}{3}$πi} = 1(cos($\frac{1}{3}$π) + i sin($\frac{1}{3}$π)) = $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$i$\sqrt{3}$
z₂ = 1 e^πi = 1(cos(π) + i sin(π)) = –1
z₃ = 1 e^{$\frac{5}{3}$πi} = 1(cos($\frac{5}{3}$π) + i sin($\frac{5}{3}$π)) = $\frac{1}{2}$ – $\frac{1}{2}$i$\sqrt{3}$