Uitleg

In een cartesisch xy-assenstelsel bestaan twee eenheidsvectoren
$\overrightarrow{e_x}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ en $\overrightarrow{e_y}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$
Deze twee vectoren maken een hoek van 90° en hebben daarom een inproduct van 0:
$\overrightarrow{e_x}$ · $\overrightarrow{e_y}$ = |$\overrightarrow{e_x}$| · |$\overrightarrow{e_y}$| · cos(90°) = 1 · 1 · 0 = 0.
Nu is elke vector te schrijven als een combinatie van eenheidsvectoren. Neem bijvoorbeeld:
$\overrightarrow{a}$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\end{array}\right)$ = –2 · $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ + 3 · $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ = –2$\overrightarrow{e_x}$ + 3$\overrightarrow{e_y}$
en $\overrightarrow{b}$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$ = 2 · $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ + 1 · $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ = 2$\overrightarrow{e_x}$ + 1$\overrightarrow{e_y}$
Voor het inproduct van beide krijg je dan: $\overrightarrow{a}$ · $\overrightarrow{b}$ = (–2$\overrightarrow{e_x}$ + 3$\overrightarrow{e_y}$) · (2$\overrightarrow{e_x}$ + 1$\overrightarrow{e_y}$)
Als je nu aanneemt dat ook voor het inproduct van twee vectoren de regels voor het uitwerken van haakjes gelden en gebruik je $\overrightarrow{e_x}$ · $\overrightarrow{e_y}$ = 0 en $\overrightarrow{e_x}$ · $\overrightarrow{e_x}$ = 1 en $\overrightarrow{e_y}$ · $\overrightarrow{e_y}$ = 1, dan vind je: $\overrightarrow{a}$ · $\overrightarrow{b}$ = –2 · 2 + 3 · 1 = –1
Kennelijk hoef je alleen de overeenkomstige kentallen te vermenigvuldigen en de twee uitkomsten op te tellen om het inproduct van beide vectoren te krijgen.