Stelling

Voor de stochasten X met waarden x₁, x₂, ..., x_n en Y met waarden y₁, y₂, ..., y_m geldt: Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) als X en Y onafhankelijk zijn.

Bewijs

Var(X) = ${\displaystyle \sum _{i=1}^n{(x_i-\text{E}(X))}^2\cdot \text{P}(X=x_i)}$ = E((X – E(X))²).
En dus is Var(X) = E((X² – 2X · E(X) + E(X)²) = E(X²) – E(2X · E(X)) + (E(X))² =
= E(X²) – 2 · E(X) · E(X) + (E(X))² = E(X²) – (E(X))².

(Hierin wordt gebruik gemaakt van de gemakkelijk te bewijzen eigenschap
E(a · X + b) = a · E(X) + b).

En zo is:
Var(X + Y) = E((X + Y)²) – (E(X + Y))² = E(X² + 2XY + Y²) – (E(X) + E(Y))² =
= E(X²) + 2 · E(XY) + E(Y²) – (E(X))² – 2 · E(X) · E(Y) – (E(Y))².

Als X en Y onafhankelijk zijn, is E(XY) = E(X) · E(Y).

En dan is Var(X + Y) = E(X²) + E(Y²) – (E(X))² – (E(Y))² = Var(X) + Var(Y).